رحلة النرد العادل بين الرياضيات والتحدي البشري

حين يتحوّل سؤالٌ بسيط عن لعبة طاولة إلى لغزٍ رياضي يعجز عنه كلّ الحاسوب، ثم يجد حلّه بعد أكثر من عقدٍ من البحث فهذه ليست مجرّد قصة ترفيه، بل هي درسٌ في طبيعة الرياضيات ذاتها. في خريف عام 2023، افتتحت جامعة Auburn بولاية ألاباما مبناها الجديد لقسم الرياضيات، وكان في استقبال الزوار خمسة مجسّمات خشبية ضخمة على شكل نرد متعدّد الأوجه كلّ واحدٍ منها يحكي جزءاً من رحلةٍ بدأت بسؤالٍ ألقاه مصمّم ألعاب كندي على أذن رياضيّ، ولم تنتهِ إلا بعد أن استنفدت البشرية حدود ما تستطيع الحواسيب حسابه.

لغزٌ في قلب اللعبة

في نحو عام 2010، طرح James Ernest مصمّم ألعاب الطاولة مسألةً تبدو للوهلة الأولى بديهية: كيف تصمم مجموعةً من النرد بحيث يرمي كلّ لاعبٍ حبّةً واحدة، فتُحدَّد ترتيب اللاعبين بشكلٍ عادلٍ تماماً، دون تعادلٍ ودون إعادة رمي؟ السؤال وصل إلى Eric Harshbarger، الرياضي في جامعة Auburn، الذي وجد فيه ما يستحقّ التأمّل.

الشرط الجوهري ليس مجرّد تكافؤ الحظوظ في من يبدأ أوّلاً، بل ما يسمّيه المختصّون «عدالة التباديل» (permutation fairness): أن تكون جميع ترتيبات اللاعبين محتملةً بالتساوي، أيّاً كانت. يشرح Harshbarger ذلك بوضوح: «الأمر السهل هو تجنّب التعادل؛ يكفي أن تضع أرقاماً مختلفة على جميع وجوه النرد. المشكلة تكمن في كيفية توزيع هذه الأرقام المختلفة على النرد بحيث يكون الاحتمال متساوياً ليس فقط للمجموعة كاملةً، بل لأيّ مجموعةٍ فرعية منها».

وجد Harshbarger الحلّ لثلاثة لاعبين في غضون أسابيع: ثلاث حبّات نرد سداسية الأوجه، تحمل أرقاماً من 1 إلى 18. ثم جاء الحلّ الرباعي: أربع حبّات نرد ثنائية عشرية الأوجه، طوّرها بالحساب اليدوي. وبحلول عام 2012، كان Harshbarger يبيع مجموعاتٍ مصنوعةً يدوياً لأربعة لاعبين لمشترين حول العالم، وباتت متاحةً لاحقاً عبر متجرَي Maths Gear في المملكة المتحدة وMath Art Fun في الولايات المتحدة.

حيث تستسلم الحواسيب

الانتقال من أربعة لاعبين إلى خمسة لم يكن خطوةً حسابية إضافية كان قفزةً إلى عالمٍ آخر من التعقيد. الحلّ الخماسي يتطلّب خمس حبّات نرد ستّينية الأوجه، مرقّمة من 1 إلى 300 دون تكرار. عدد التوليفات الممكنة لتوزيع هذه الأرقام؟ يقول Harshbarger: «نتحدّث حرفياً عن عددٍ يفوق عدد الذرات في الكون نحو 10 أس 128 توليفة. لا توجد طريقة، حتى لو أمضينا مليار مليار سنة بكلّ الحواسيب وكلّ الذكاء الاصطناعي. لا يمكننا فعل ذلك حتى اليوم».

هذا يعني أنّ المسح العشوائي الشامل مستحيلٌ رياضياً. الحلّ جاء من حيث لم يتوقّع أحد: في منتصف عام 2023، اكتشف Paul Meyer مهندس برمجيات كندي طريقةً تستغلّ الأنماط الرياضية الكامنة في المسألة، وكتب برنامجاً وجد الحلّ. حين راجع Harshbarger النتيجة، لم يُخفِ دهشته: «تحقّقت من عمله وقلت: يا إلهي، لقد بحثنا عن هذا طويلاً جداً. هذا مذهل».

Loading image...

من الورقة إلى الخشب

ما يميّز هذا الحلّ عن غيره من الإنجازات الرياضية النظرية هو أنّه قابلٌ للتجسيد. كان هدف Harshbarger صريحاً منذ البداية: «هدفي كان مجموعةً لخمسة لاعبين يمكن تصنيعها فعلاً، تستطيع إمساكها بيدك، يستطيع لاعبو الطاولة شراءها ورميها. حتى لمسألةٍ تبدو سخيفةً من حيث الجدوى رياضياً فقط، هل يمكنك شراء هذه الأشياء ورميها وتعمل؟ لا يمكنك فعل ذلك مع نردٍ من 180 وجهاً».

النرد الستّيني الأوجه يقع في منطقة التوازن المثالية: كبيرٌ بما يكفي لاستيعاب الأرقام، صغيرٌ بما يكفي ليُمسك باليد ويُصنَّع بأسعارٍ معقولة. وحين افتتحت جامعة Auburn مبناها الجديد للرياضيات في خريف 2023، قرّرت أن تجعل من هذا الإنجاز رمزاً ماديّاً: خمسة مجسّمات خشبية ضخمة تُجسّد النرد الخماسي، مصنوعةٌ من خمسة أنواع مختلفة من الخشب الصنوبر والحور والبلوط والجوز والماهوغاني وتعرض بشكلٍ دائم في ردهة المبنى.

يرى Harshbarger في هذه المجسّمات أكثر من مجرّد ديكور: «حين يرى الناس نرداً ضخماً أو صغيراً، ينبهرون بالهندسة. الأمل أن يروا هذه الأشياء ويقولوا: هذا أيضاً رياضيات، وهذا مثيرٌ للاهتمام. بعض أكثر مسائل الرياضيات متعةً هي تلك التي يسهل فهمها ولا يسهل الإجابة عنها».

ما يكشفه النرد عن الرياضيات

ثمّة ما هو أعمق من الحلّ نفسه في هذه القصة. مسألة «نرد البداية» وهو تسميةٌ يعترض عليها Harshbarger بقوله إنّها «مضلّلة قليلاً، لأنّ النرد يفعل أكثر من تحديد من يبدأ؛ هو يحدّد ترتيب جميع اللاعبين» تُذكّر بأنّ الرياضيات لا تُفرّق بين المسائل «الجادّة» والمسائل «الهامشية». ما بدأ بسؤالٍ عن لعبة طاولة أفضى إلى بحثٍ في حدود الحوسبة، وإلى اكتشافٍ نُشر في ورقةٍ بحثية على ResearchGate، وإلى منحوتاتٍ خشبية تستقبل طلاب الرياضيات كلّ يوم.

السؤال الذي يبقى معلّقاً: هل ثمّة حلٌّ لستّة لاعبين أو أكثر؟ التعقيد الحسابي يتضاعف بشكلٍ يكاد يكون مستحيلاً مع كلّ لاعبٍ إضافي، وما أنجزه Paul Meyer يعتمد على استغلال أنماطٍ رياضية خاصّة قد لا تتكرّر بالطريقة ذاتها. في الرياضيات، الإجابة على سؤالٍ لا تُغلق الباب بل في الغالب تفتح نافذةً على أسئلةٍ أصعب.